ELEA

Zenón de Elea

Zenón de Elea (en griego clásico: Ζήνων ο Ελεάτης) fue un filósofo griego nacido en Elea perteneciente a la escuela eleática (¿490-430 a. C.?). Fue discípulo directo de Parménides de Elea y se le recuerda por el amplio arsenal conceptual con que defendió las tesis de su maestro. No estableció ni conformó ninguna doctrina positiva de su propia mano, en tanto que todo lo que defiende lo toma de Parménides, sino que se limitó a atacar todo planteamiento que no parta de las tesis eleáticas.
Réplica a la paradoja
Una interpretación moderna, basada en el cálculo infinitesimal que era desconocido en época de Zenón, propone que Aquiles realmente alcanzará a la tortuga, ya que, como demostró el matemático escocés James Gregory (1638-1675), una suma de infinitos términos puede tener un resultado finito. Los tiempos en los que Aquiles recorre la distancia que lo separa del punto anterior en el que se encontraba la tortuga son cada vez más y más pequeños, y su suma da un resultado finito, que es el momento en que alcanzará a la tortuga.
Otra manera de plantearlo es que Aquiles puede fijar un punto de llegada que está metros delante de la tortuga en vez del punto en que ella se encuentra. Ahora, en vez de cantidades infinitas, tenemos dos cantidades finitas con las cuales se puede calcular un intervalo finito de tiempo en el cual Aquiles pasará a la tortuga.
Otra forma de encarar el problema es huyendo del análisis infinitesimal, cuyo planteamiento matemático se desconocía en tal época, para reconvertirlo en análisis discreto: Filípides -el campeón olímpico al que se ordenó que abandonara las filas del ejército para comunicar a Atenas la victoria conseguida sobre los persas en la playa de Marathon- no recorre espacios infinitesimales, sino discretos, que podemos denominar zancada. A cada zancada le podemos asignar un espacio concreto. Por ejemplo podemos suponer que Filípides recorre un metro a cada zancada. Ahora el problema se reduce a la comparación de velocidades relativas: calcular en qué momento la última zancada de Filípides recorrerá una distancia mayor a la que haya podido recorrer la tortuga en el mismo tiempo, incluso aunque no sepamos definir la distancia exacta que la tortuga recorrería. Es decir, basta que una de las variables sea discreta y que podamos suponer que, en determinado tiempo, puede superar a las distancias infinitesimales, para demostrar, incluso teóricamente, que el movimiento existe.
Lo que sí es seguro que la solución no puede salir de una argumentación distinta a la original, sino del estudio del enunciado original, lugar en el que se encuentra el error, mal entendido, o paradoja.

La dicotomía

Esta paradoja, conocida como argumento o paradoja de la dicotomía, es una variante de la anterior.
Zenón está a ocho metros de un árbol. Llegado un momento, lanza una piedra, tratando de dar al árbol. La piedra, para llegar al objetivo, tiene que recorrer antes la primera mitad de la distancia que lo separa de él, es decir, los primeros cuatro metros, y tardará un tiempo (finito) en hacerlo. Una vez llegue a estar a cuatro metros del árbol, deberá recorrer los cuatro metros que le quedan, y para ello debe recorrer primero la mitad de esa distancia. Pero cuando esté a dos metros del árbol, tardará tiempo en recorrer el primer metro, y luego el primer medio metro restante, y luego el primer cuarto de metro... De este modo, la piedra nunca llegará al árbol.
Es posible utilizar este razonamiento, de forma análoga, para «demostrar» que la piedra nunca llegará a salir de la mano de Zenón.
Al igual que en la paradoja de Aquiles y la tortuga, es cierto que el número de puntos recorridos (y tiempos invertidos en hacerlo, según el argumento de la paradoja) es infinito, pero su suma es finita y por tanto la piedra llegará al árbol.
La paradoja de la piedra puede ser planteada matemáticamente usando series infinitas. Las series infinitas son sumas cuyo término variante (que puede tomar cualquier valor numérico) va hasta el infinito. Las series infinitas pueden ser convergentes o divergentes, en el primer caso la suma de las mismas es un número finito, en el segundo no.
Como introducción al concepto de serie, se muestran un par de series sencillas y luego se aplica esa formulación a la paradoja de Zenón.
Para sumar todos los números desde 1 a infinito:

Para sumar todos los números al cuadrado desde 1 a infinito:

Para plantear una serie que modele la paradoja de la piedra se hace una serie que sume la mitad, luego la mitad de la mitad, luego la mitad de la mitad de la mitad y así, hasta el infinito:

La serie que se plantea es una serie geométrica, por lo que su suma puede ser calculada con la siguiente fórmula:
Suma =
En la sumatoria de la paradoja de Zenón, «a» es y «r» es la razón de incremento (producto), que es . Sustituyendo esos valores en la fórmula de suma se tiene:
Suma =
Entonces se tiene que la suma de la mitad de «algo» más la mitad de la mitad de «algo» y así sucesivamente da 1, «algo» completo. Esto también es aplicable a la paradoja, la mitad de la distancia, más la mitad de la mitad de la distancia y así sucesivamente da como resultado la distancia entera. Por lo tanto se concluye que, recorriendo infinitas mitades es posible recorrer toda la distancia.

PARADOJA DE ZENON 2

La paradoja de la flechaEsta otra paradoja implica el lanzamiento de una flecha. Zenón afirmaba que, en cada instante, la flecha está en una posición del espacio determinada. Si el periodo de tiempo considerado es lo suficientemente pequeño, la flecha no alcanzará a moverse, por lo que está en el reposo durante ese instante. Ahora bien, el mismo razonamiento puede aplicarse a los restantes infinitos de periodos de tiempo, en los que la flecha también estará en reposo por el mismo motivo. De esta forma Zenón demostraba que el movimiento de una flecha es imposible, a pesar de que miles de viudas cuyos maridos habían muerto de un flechazo en el campo de batalla le insistieran con lo contrario.

La paradoja puede evitarse de varias maneras. Una de ellas es simplemente pensar que cada instante en que la flecha se percibe como “en reposo” es un algo relativo. No se puede juzgar, observando sólo una “foto” de un objeto si está o no en reposo. En lugar de ello, es necesario compararlo con los instantes adyacentes, previos y posteriores.

Descripción

Hemos arrojado una flecha y estos momentos se encuentra en el aire. Nos

damos cuenta, no obstante de que en cada instante la flecha ocupa una única

posición que, además, equivale a la propia flecha. Es decir, en cada instante la

flecha se halla en reposo con respecto al espacio que ocupa, ya que de otro

modo no sería un instante de tiempo. Ahora bien, el lapso de tiempo que media

entre el instante en que lanzo la flecha y este al que me llevado estas

reflexiones no es sino un conjunto de instantes de tiempo. Puesto que hemos

dicho que en cada instante la flecha permanece en reposo, habremos de

concluir que en el lapso formado por esos instantes la flecha permance

igualmente en reposo.

La paradoja del estadio

Dos filas de igual numero de soldados (B B B B y C C C C) parten de los extremos de un estadio en dirección al centro (la tribuna formada por A A A A) a la misma velocidad. Se paran cuando estén alineados. El primer soldado B recorre un espacio igual a dos A, pero, en el mismo tiempo, el primer soldado C recorre cuatro soldados B.  Dado que los tamaños de A, B y C son iguales, se concluye que la velocidad de los soldados C es doble que la de los soldados B, y habíamos dicho que la velocidad era la misma. 

                                                  A A A A
                                           B B B B  ----->
                                          <------      C C C C

Las paradojas de Zenón influyeron negativamente en el desarrollo del concepto de infinitesimales, pero son los primeros antecedentes del razonamiento infinitesimal.

Descripción

En un estadio se haya una tribuna formada por cuatro soldados en fila que

permanecen en reposo y que representamos por AAAA. De un extremo parte

una columna de cuatro solados BBBB en dirección a la tribuna. Del extremo

contrario parte otra columna CCCC en dirección opuesta para alinearse

también con la fila de los A. La columna de los Bs y los Cs desifilan

exactamente a la misma velocidad. Hay dos momentos que nos interesan:

Momento 1:

AAAA

BBBB

CCCC

Momento 2:

AAAA

BBBB

CCCC

Cuando la columna de los As entra en contacto con los Cs, vemos que los Bs

recorren dos As, mientras que en el mismo tiempo los Cs han recorrido 4 Bs.

Por tanto, dado que la longitud de los As, los Bs y los Cs es la misma,

observamos que la velocida de la columna de los Cs es doble que la de los Bs,

cuando habíamos dicho que en realidad era la misma.

Mi equipo:

roxana salas tovar

jose ricardo de la cruz cruz

jose luis cruz valenzuela

mariana bustamante cervera

elsy beatriz garcia montejo